一、考試須知

高等數(shù)學(xué)(理工科)總分100分，包括函數(shù)、極限與連續(xù)性、一元函數(shù)的微分學(xué)、一元函數(shù)的積分學(xué)、向量代數(shù)與空之間的解析幾何、多元函數(shù)的微分學(xué)、多元函數(shù)的積分學(xué)、常微分方程、無(wú)窮級(jí)數(shù)、線性代數(shù)，其中線性代數(shù)占25分左右?？偪荚嚂r(shí)間為120分鐘。

本大綱要求由低到高，概念和理論分為“理解”和“認(rèn)識(shí)”兩個(gè)層次；方法和操作分為“知道”、“掌握”、“掌握”三個(gè)層次。

考試類型:選擇題；填寫空題；其他類型(包括計(jì)算題、應(yīng)用題、證明題等。).

二、考試內(nèi)容和要求

((1))函數(shù)、極限和連續(xù)性

1.功能

(1)理解函數(shù)的概念，找到函數(shù)的定義域、表達(dá)式和函數(shù)值。會(huì)找到分段函數(shù)的定義域和函數(shù)值，并且會(huì)做出簡(jiǎn)單的分段函數(shù)圖像。簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系就建立起來(lái)了。

(2)理解和掌握函數(shù)的單調(diào)性、宇稱性、有界性和周期性，會(huì)判斷給定函數(shù)的范疇。

(3)了解函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系，會(huì)發(fā)現(xiàn)單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)。

(4)理解和掌握函數(shù)的四次運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算，熟練掌握復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程。

(5)掌握基本初等函數(shù)及其簡(jiǎn)單性質(zhì)和圖像。

(6)理解初等函數(shù)的概念和性質(zhì)。

2.限制

(1)要理解極限的概念，就要求出函數(shù)在某一點(diǎn)的數(shù)列極限和左極限、右極限、極限，理解數(shù)列極限的存在定理和函數(shù)極限在某一點(diǎn)存在的充要條件。

(2)了解極限的相關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四種算法(包括數(shù)列極限和函數(shù)極限)。

(3)掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法。

(4)理解無(wú)窮小量和無(wú)窮小量的概念，掌握無(wú)窮小量和無(wú)窮小量的關(guān)系，比較無(wú)窮小量的階數(shù)。掌握等價(jià)無(wú)窮小代換定理。

3.連續(xù)的

(1)理解函數(shù)在某一點(diǎn)上的連續(xù)性和不連續(xù)性的概念，會(huì)判斷函數(shù)(包括分段函數(shù))的連續(xù)性，理解函數(shù)在某一點(diǎn)上的連續(xù)性與極限存在性的關(guān)系。

(2)會(huì)發(fā)現(xiàn)函數(shù)的不連續(xù)性，確定其類型。

(3)掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)利用零點(diǎn)定理證明方程根的存在性。

(4)理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的，會(huì)用連續(xù)性來(lái)求極限。

((2)一元函數(shù)的微分學(xué)

1.導(dǎo)數(shù)和微分

(1)理解導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，通過(guò)定義判斷函數(shù)的可導(dǎo)性。

(2)掌握曲線上某一點(diǎn)的切線方程和法向方程的解。

(3)掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式、四大算術(shù)規(guī)則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法，就會(huì)得到反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

(4)掌握隱函數(shù)和參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法，掌握對(duì)數(shù)求導(dǎo)方法，就可以求出分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

(5)理解高階導(dǎo)數(shù)的概念，有助于你找到初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。

(6)了解函數(shù)的微分概念和幾何意義，掌握微分算法和一階微分形式的不變性，了解可微性和可微性的關(guān)系，求函數(shù)的微分。

2.中值定理及其導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

(1)為了理解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理及其幾何意義，我們將利用羅爾中值定理證明方程根的存在性，利用拉格朗日中值定理證明簡(jiǎn)單不等式。

(2)掌握洛必達(dá)定律求待定公式的極限。

(3)掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，求出函數(shù)的單調(diào)遞增和遞減區(qū)間，將利用函數(shù)的單調(diào)性證明簡(jiǎn)單不等式。

(4)了解函數(shù)極值的概念，掌握求函數(shù)極值和最大(最小)值的方法，解決簡(jiǎn)單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問(wèn)題。

(5)會(huì)判斷曲線的凹凸性質(zhì)，找到曲線的拐點(diǎn)。

(6)將得到曲線的水平漸近線和垂直漸近線。

((3)一元函數(shù)積分

1.不定積分

(1)了解原函數(shù)和不定積分的概念，掌握不定積分的性質(zhì)，了解原函數(shù)的存在定理。

(2)掌握基本積分公式。

(3)掌握不定積分的靠前代換法和第二代換法(限于三角代換和簡(jiǎn)單根式代換)。

(4)掌握不定積分的分部積分。

(5)可以得到簡(jiǎn)單有理函數(shù)和簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的不定積分。

2.定積分

(1)了解定積分的概念和幾何意義，了解函數(shù)的可積條件。

(2)掌握定積分的基本性質(zhì)

(3)理解變上限定積分是變上限的函數(shù)，掌握變上限定積分導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法。

(4)掌握牛頓-萊布尼茨公式。

(5)掌握轉(zhuǎn)換積分法和定積分的分部積分。并且會(huì)證明一些簡(jiǎn)單的積分恒等式。

(6)理解無(wú)窮區(qū)間廣義積分的概念，掌握其計(jì)算方法。

(7)掌握直角坐標(biāo)系用定積分計(jì)算平面圖形的面積，會(huì)求出平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積。

(4)向量代數(shù)與空之間的解析幾何

1.向量代數(shù)

(1)理解向量的概念，掌握向量的坐標(biāo)表示，求單位向量、方向余弦、向量在坐標(biāo)軸上的投影。

(2)掌握向量的線性運(yùn)算，向量的數(shù)量積，兩個(gè)向量的叉積的計(jì)算方法。

(3)了解兩個(gè)向量平行和垂直的條件。

2.平面和直線

(1)會(huì)求點(diǎn)法語(yǔ)方程和平面的一般方程。會(huì)決定兩個(gè)平面的垂直和平行。

(2)會(huì)找到點(diǎn)到平面的距離。

(3)了解直線的一般方程，求直線的標(biāo)準(zhǔn)方程和參數(shù)方程。會(huì)判斷這兩條線平行垂直。

(4)將確定直線與平面(垂直、平行、平面上的直線)的關(guān)系。

3.簡(jiǎn)單二次曲面

了解球面、母線平行于坐標(biāo)軸的圓柱體、錐面、橢球面、拋物面、雙曲面的方程和圖形。

((5)多元函數(shù)微積分

(1)了解多元函數(shù)的概念，二元函數(shù)的幾何意義，二元函數(shù)的極限和連續(xù)性的概念(不要求計(jì)算)。會(huì)找到二元函數(shù)的定義域。

(2)了解偏導(dǎo)數(shù)的概念、全微分的概念及其存在的充要條件。

(3)掌握二元函數(shù)的一階、二階偏導(dǎo)數(shù)和全微分的計(jì)算方法。

(4)掌握復(fù)合函數(shù)(包括抽象函數(shù))一階偏導(dǎo)數(shù)的解法。

(5)會(huì)求二元函數(shù)的總微分(不包括抽象函數(shù))。

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(7)掌握空之間曲線的切平面和法平面方程，以及空之間曲面的切平面和法平面方程。

(8)會(huì)找到二元函數(shù)的無(wú)條件極值。拉格朗日乘數(shù)法將用于解決一些最大值和最小值問(wèn)題。

((6)多元函數(shù)積分學(xué)

1.二重積分

(1)了解二重積分的概念和性質(zhì)。

(2)掌握直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)下二重積分的計(jì)算方法。

(3)用二重積分解決簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題(限于空之間的閉曲面包圍的有界區(qū)域的體積)。

2.曲線積分

(1)了解坐標(biāo)曲線積分的概念和性質(zhì)。

(2)掌握坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算。

(3)掌握格林公式。掌握曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件，并應(yīng)用于曲線積分的計(jì)算。

((7)無(wú)窮級(jí)數(shù)

1.級(jí)數(shù)

(1)了解級(jí)數(shù)斂散性的概念，掌握級(jí)數(shù)收斂的必要條件，了解級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)。

(2)掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法和比值判別法，了解根判別法。

(3)掌握幾何級(jí)數(shù)、調(diào)和級(jí)數(shù)、P-級(jí)數(shù)的斂散性。

(4)掌握萊布尼茨判別法。

(5)理解級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂和條件收斂的概念，將決定任意級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂和條件收斂。

2.冪級(jí)數(shù)

(1)理解冪級(jí)數(shù)的概念。

(2)掌握求冪級(jí)數(shù)收斂半徑和收斂區(qū)間的方法(不要求討論端點(diǎn))。

(3)掌握冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)逐項(xiàng)求導(dǎo)積分的性質(zhì)和方法。

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(3)理解逆矩陣的概念，掌握矩陣可逆性的充要條件，理解伴隨矩陣的概念，利用伴隨矩陣求矩陣的逆矩陣。

(4)掌握矩陣的初等變換，理解矩陣秩的概念，掌握用初等變換求矩陣秩和逆矩陣的方法。

3.向量

(1)理解N維向量的概念，向量的線性組合和線性表示。

(2)了解向量組線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)的定義，掌握判斷向量組線性相關(guān)的方法。

(3)理解最大線性無(wú)關(guān)群和向量群秩的概念，掌握最大線性無(wú)關(guān)群和向量群秩的解法。

4.線性方程

①克萊默大師定律。

(2)了解齊次線性方程組有非零解和非齊次線性方程組有解的充要條件。

(3)了解齊次線性方程組的基本解系和通解的概念。

(4)了解非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)和通解的概念。

(5)掌握用初等變換求線性方程組通解的方法。

三.書目

《高等數(shù)學(xué)》(第七版)(靠前卷、第二卷)，同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編輯，高等教育出版社。

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